La teoría de Yang-Mills.

La teoría de Yang-Mills.

Hace casi 50 años, los físicos Yang y Mills descubrieron ciertas relaciones entre la Geometría y las ecuaciones de la física de partículas que luego resultaron de gran utilidad para unificar tres de las interacciones fundamentales de la materia en una sola teoría. A pesar de ello, nadie ha demostrado que las ecuaciones de Yang-Mills tengan soluciones compatibles con la mecánica cuántica.

Demostrar que las ecuaciones de Yang-Mills tienen soluciones compatibles con la mecánica cuántica es uno de los siete enigmas matemáticos pendientes de resolver. Una cuestión compleja.

Jugar muchas partidas de ajedrez no te hace más inteligente, simplemente te entrena para jugar al ajedrez.

Escribir cada día algo en un blog no te ayuda a hacerlo mejor ni, por supuesto, te convierte en escritor, simplemente te entretiene.

Estar rodeado de personas, incluso relacionarte con ellas, no te hace sentirte acompañado, es posible que además, en muchos casos, acreciente tu sensación de soledad.

Aunque digas claramente amor, incluso deletreándolo, no significa que quién lo escucha no entienda roma, mora, ramo, omar (Sharif), armo, arom(a), (h)orma, etc. Es así y no hay nada que hacer.

Hacerte viejo no significa hacerte sabio, es más, a veces significa saber menos, encerrarte en un círculo del que no sales, das vueltas y vueltas como un burro en una noria, siempre con el mismo paisaje, con las mismas vacas viéndote pasar. Una esperanza, hay excepciones.

Saber sumar, haberlo aprendido cuando eras niño, no elimina la posibilidad de que, de pronto, uno más uno sean tres, que los dedos de una mano sean suficientes para contar las personas que amas (lo malo es cuando, además, te sobran cinco dedos) o que las ecuaciones de Yang-Mills tengan soluciones compatibles con la mecánica cuántica.

Por si no ha quedado claro, insisto:

Existencia y "mass gap" en la Teoría de Yang-Mills.

Este es un problema para los físicos; o de los físicos. Lo que se pide es un modelo matemático que satisfaga los axiomas de cierta Teoría Cuántica de Campos conocida como Teoría de Yang-Mills o "Teoría gauge no-abeliana".

En física se reconocen cuatro tipos fundamentales de interacciones entre partículas, que gobiernan todos los procesos conocidos. La fuerza gravitatoria, la fuerza electromagnética y los dos tipos de fuerzas nucleares, "fuertes" y "débiles". La fuerza gravitatoria no tiene efectos apreciables en el mundo atómico y además es conceptualmente difícil de compatibilizar con los postulados de la mecánica cuántica. Por tanto se excluye de manera explícita en el llamado "modelo estándar" de la física de partículas.

Las ecuaciones de Yang y Mills, introducidas en 1954, son en pocas palabras una generalización no conmutativa de la electrodinámica cuántica (QED), la cual a su vez es la versión cuantizada de la teoría electromagnética clásica de Maxwell. La QED es la teoría que modeliza las interacciones electromagnéticas en el contexto cuántico, y ya estaba ampliamente asentada y aceptada en los años 50. Esencialmente, las ecuaciones de Yang-Mills se reducen a la QED cuando las partículas portadoras del campo no tienen masa (como es el caso de los fotones, portadores de la energía elcetromagnética) y difieren de la QED sólo cuando los portadores tienen masa (como es el caso de los bosones W y Z, unas 100 veces más pesados que protones y neutrones, y portadores de las fuerzas nucleares débiles). En este sentido, la teoría de Yang-mills es una pieza clave en la unificación de la QED con la teoría de las interacciones débiles: la llamada teoría electrodébil formulada en 1968, que valió el premio Nobel de Física de 1979 a sus creadores, Sheldon Glashow, Abdul Salam y Steven Weinberg. Hay que aclarar que la existencia de los bosones W y Z y el valor de su masa no fueron explicados sino predichos por la teoría electrodébil, y no detectados experimentalmente hasta los años 80. Uno de los problemas más importantes en física de partículas es encontrar una teoría que unifique de manera satisfactoria la teoría electrodébil y la "cromo-dinámica cuántica" que regula las interacciones fuertes.

El reto que plantea el Instituto Clay puede tener relación con esta futura teoría unificada, aunque se plantea como un problema puramente matemático. Explicado de manera imprecisa, se pide "avanzar en el conocimiento matemático de la Teoría de Yang-Mills en dimensión cuatro". En términos más precisos, se pide demostrar que para todo grupo simple compacto G, hay una Teoría de Yang-Mills en R4 que tiene a ese grupo como grupo gauge y que además, esa teoría tiene una "brecha de masa" (mass gap). La brecha de masa significa que no puede haber excitaciones con energía arbitrariamente pequeña sino que hay un valor mínimo D >0 para las mismas. Es una propiedad fundamental en el contexto físico. Explica, por ejemplo, por qué las interacciones fuertes, aún siendo las más fuertes de la naturaleza, son las de más corto alcance.